关于线性回归模型中假设的问题

Song Calderone Zhang 05/10/2018. 3 answers, 224 views
regression multiple-regression regression-coefficients assumptions

在这里输入图像描述

以上是道格拉斯C Introduction to Linear Regression的截图。我们通常假设在线性回归模型中$ y $与参数具有线性关系,但为什么在这里作者说$ y $应该与回归函数$ X $?

3 Answers


Sycorax 05/10/2018.

线性模型假定线性关系,因为线性模型估计形式的函数$ y = a + b_1 x_1 + b_2 x_2 + \ cdots + b_n x_n + \ text {error} $,即线性函数。 如果您没有线性关系,则需要使用不同的模型或以某种方式转换$ y $和/或$ x $,以使模型为线性。


NatWH 05/10/2018.

我认为你可能会混淆两个不同的概念。 在一般线性模型中,我们将响应建模为参数线性组合(例如B0 + B1 + B2等),这与假设某个预测变量x与响应y之间存在线性关系不同。 这种线性关系的假设是该方法的一个基本假设。


Isabella Ghement 05/10/2018.

这一段有点难以理解,所以我将举一个小例子来帮助解释它所说的假设。

想象一下,y =身体脂肪,x1 =体重,x2 =身高,我们有兴趣研究特定社区中所有成年男性的y与x1和x2之间的关系,基于来自该社区的1000名男性的随机样本。

将y与x1和x2相关的线性回归模型可以表示为:

y = beta0 + beta1*x1 + beta2*x2 + error.  (*) 

在本示例的上下文中,您帖子中以绿色突出显示的段落应解释为:

  1. y(身体脂肪)与x1(体重)成线性关系, 社区中所有身高相同的成年男性 (即,x2的值相同);
  2. y(身体脂肪) 与身体脂肪相同的社区中所有成年男性 (即x1的值相同 )中的x2(身高)呈线性相关。

所以假设y对x1的每个值都与x1线性相关,对于每个x1值,y与x2线性相关。 在控制另一个预测变量(例如x2)的影响之后,线性假设涉及两个变量(例如y和x1)。 参数β1仅仅是量化这种关系的一种方式,因为它表明了x1在具有相同x2值的成年男性中y变化有多快。 类似地,参数β2表示y值与x1相同的成年男性中y的变化速度x2有多快。

通常我们通过绘制将模型(*)分别与x1和x2中的每一个拟合后得到的残差作图来检查这些假设。 如果这些地块没有显示系统模式,那么这些假设得到数据的支持。 如果其中一个图显示系统模式(例如,二次模式),则表明在控制另一个预测器的效果之后,各个预测器对y具有非线性效应。

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