与黄金比例相关的12个点的椭圆

Đào Thanh Oai 06/24/2018. 3 answers, 798 views
mg.metric-geometry projective-geometry plane-geometry

我正在寻找问题的证据如下:

让$ ABC $成为一个三角形,让$ D $,$ E $选择$ BC $,$ F $,$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ AB $,如$ $ $,$ GD $,$ EH $分别与$ BC $,$ CA $,$ $ $平行。 表示$ A'= DG \上限EH $,$ B'= FI \上限GD $,$ C'= HE \上限IF $,然后12点:

$ D $,$ E $,$ F $,$ G $,$ H $,$ I $和$ AB'$,$ AC'$,$ BC'$,$ BA'$,$ CA'$的中点,$ CB'$只是在椭圆上

$$ \压裂{\ {划线BC}} {\ {划线BE}} = \压裂{\ {划线CB}} {\ {划线CD}} = \压裂{\ {划线CA}} {\ {划线CG }} = \压裂{\划线{AC}} {\划线{AF}} = \压裂{\划线{AB}} {\划线{AI}} = \压裂{\划线{BA}} {\划线{ BH}} = \压裂{\ SQRT {5} 1} {2} $$ 在此处输入图像描述

注意:此问题不会出现在AMM中,并且我没有针对此问题的解决方案,但是出现了相同的配置:

3 Answers


dan_fulea 06/24/2018.

使用将椭圆映射到圆形的仿射变换我们可以并且确实假设使用圆$(\ Gamma)$(更特别是椭圆)来实现配置。 比例是守恒的。

(这个三角形到目前为止仍然很普遍,只能在同一个圆上承认$ 12 $点的给定配置。)

写下面的参数不是为了找到解决方案的最短路径,而是寻找最“对称的路径”。


现在让我们在已张贴的图片中修复符号,以便精确地命名“事物”。 我们将$ A''_ C $,$ A''_ B $表示为三角形$ \ Delta AB'C'$的中间线,并使用类似的符号$ B''_ A,B''_ C $和$ C对于通过置换字母获得的其他点,''_ A,C''_ B $。 (随后会有更多带有附加点的图片,可以使用它们来显示到目前为止引入的这六个点的位置。)

因为$$ A''_ BA''_ C \ \ | \ B'C'\ \ | \ BC \ \ | \ B''_ CC''_ B \ \ | \ B''_ AC''_ A \,$$刻在圆圈$(\ Gamma)$中的相应梯形是等腰,在相应的平行线段中有两个不同的基础,即圆圈上的和弦,$$ A''_ BA''_ C \,\ IF \, \ B''_ CC''_ B \,\ B''_ AC''_ A \。 $$(所以他们都有一个共同的线段平分线。)因为带底座$ B''_ AC''_ A $和$ B''_ CC''_ B $的等值线是等腰,我们获得$ B''_ AB'' _C = C''_ AC''_ B $,所以$ A'C'= A'B $,所以通过对称性我们得到了段的一致性$$ A'B'= B'C'= C'A'\。 $$

我们类似地使用基础$ A''_ BA''_ C $和$ B''_ CC''_ B $来获得$$ A''_ BC''中的第一个相等'_ B = A''_ CB''_ C = B ''_AC''_ A \,$$是对称的第二个,所以取双打$$ AB = AC = BC \。 $$所以三角形$ \ Delta ABC $和$ \ Delta A'B'C'$是等边的,并且有平行边。 然后存在交叉点$ X = AA'\ cap BB'\ cap CC'$。 ABC和A'B'C的观点 积分$ I,F $在圈$(\ Gamma)$上,如$ A''_ C,A''_ B; B''_ C,C''_ B; A''_ B,A''_ C $ ,所以它的线段平分线,与$ BC $,$ \ mu_A $相同,包含$ A $和$(\ Gamma)$的中心。 所以$ A'$是$ \ mu_A $。 所以$ AA'= \ mu_A $,$ BB'= \ mu_B $,$ CC'= \ mu_C $是边线平分线,因此$ X $是等边三角形ABC $的对称中心。 和$ \ Delta A'B'C'$。 有了这个选择,很明显所有六个点A A''_ C,A''_ B; B''_ C,C''_ B; A''_ B,A''_ C $都在一个圆圈上。 我们必须在同一个圆圈上引入$ I $(和$ F $)的约束来完成。 调整后的图片,“真正的中心”$ X $是: ABC和A'B'C的观点,点T. 我们还插入了积分$ S,T $,$ A''_ BA''_ C $以及$ IF $和$ B'C'$的中间点。

将单位固定为等于$ \ Delta ABC $边长。 让$ x $为$ AI $的长度。 然后:$$ IT = \ frac 12 x \,\ AT = \ frac {\ sqrt3} 2x \,\ ST = \ frac 12AT = \ frac {\ sqrt3} 4x \,\ AX = \ frac 23 \ cdot \ frac {\ sqrt 3} 2 \,\ $$ $$ TX = \ frac {\ sqrt 3} 2 \ left(\ frac 23-x \ right)\,\ TC = \ sqrt 3TX = \ frac 32 \ left(\ frac 23-x \ right)\,\ $$ $$ SA''_ C = \ frac 12 TC = \ frac 34 \ left(\ frac 23-x \ right)\,\ $$来自$ XT ^ 2 + TI ^ 2 = XI ^ 2 = XA''_ C {} ^ 2 =(XT + TS)^ 2 + A''_ CS ^ 2 $我们得到等式:$$ \ frac 34 \ left(\ frac 23-x \右)^ 2 + \ frac14 x ^ 2 = \ frac 34 \ left(\ frac 23- \ frac x2 \ right)^ 2 + \ frac 9 {16} \ left(\ frac 23-x \ right)^ 2 \ 。 $$计算机现在解决了,使用鼠尾草

sage: var('x');
sage: eq = 3/4*(2/3-x)^2 + x^2/4 - 3/4*(2/3-x/2)^2 - 9/16*(2/3-x)^2
sage: eq.factor()
1/4*x^2 + 1/4*x - 1/4
sage: solve( eq==0, x )
[x == -1/2*sqrt(5) - 1/2, x == 1/2*sqrt(5) - 1/2] 

我们只考虑积极解决方案$ x = \ frac 12(\ sqrt 5-1)$,它对应于已过帐问题中的值。

以上所有都显示了一个方向,而且事实上,如果圆形配置的$(*)$我们有两个等边三角形的视角$ \ Delta ABC $和$ \ Delta A'B'C'$,中心位于$ X $,三角形的共同对称中心。

对于相反的方向,我们从这个唯一可能的情况$(*)$开始,使用相同的微积分,从已知的$ x $值开始。


billabong 06/24/2018.

这是一个评论(因为我没有进行所有的计算),但我没有权利。 由于问题在亲和力下是不变的,因此可以假设三角形具有顶点$(0,1)$,$(0,0)$和$(1,0)$。 那么$ D,E,F,G,H,I $是$(x,0),(z,0),(y,1-y),(x,1-x),(0,z), (0,y)$ resp。 然后,确定其他点然后应用确定条件以确定位于圆锥上的点是常规任务。 我怀疑你会发现你身边的额外点不一定是内部的。


Cherng-tiao Perng 06/24/2018.

通过相似性,很容易看出三角形ABC和A'B'C'共享相同的质心,比如O.正如billabong评论的那样,问题在亲和力下是不变的,因此,使用以O为中心的合适的仿射变换,通过假设ABC是一个正三角形来证明结果就足够了。 实际上,可以检查在这种情况下相应的12个点位于以O为中心的圆中,半径为$ \ frac {\ sqrt {6}} {3(\ rho + 1)} $倍边长$ \ overline {AB} $($ = \ overline {BC} = \ overline {CA} $),其中$ \ rho = \ frac {\ sqrt {5} +1} 2. $ A副产品实际上是A,B',E(以及类似的A,C',D等)是共线的。


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 Alan Walker

Diamond Heart flac

Alan Walker. 2018. Writer: Alan Walker;Sophia Somajo;Mood Melodies;James Njie;Thomas Troelsen;Kristoffer Haugan;Edvard Normann;Anders Froen;Gunnar Greve;Yann Bargain;Victor Verpillat;Fredrik Borch Olsen.
2 Sia

I'm Still Here flac

Sia. 2018. Writer: Sia.
3 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
4 Cardi B

Taki Taki flac

Cardi B. 2018. Writer: Bava;Juan Vasquez;Vicente Saavedra;Jordan Thorpe;DJ Snake;Ozuna;Cardi B;Selena Gomez.
5 Eminem

Venom flac

Eminem. 2018. Writer: Eminem.
6 Halsey

Without Me flac

Halsey. 2018. Writer: Halsey;Delacey;Louis Bell;Amy Allen;Justin Timberlake;Timbaland;Scott Storch.
7 Lady Gaga

I'll Never Love Again flac

Lady Gaga. 2018. Writer: Benjamin Rice;Lady Gaga.
8 Kelsea Ballerini

This Feeling flac

Kelsea Ballerini. 2018. Writer: Andrew Taggart;Alex Pall;Emily Warren.
9 Bradley Cooper

Shallow flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Andrew Wyatt;Anthony Rossomando;Mark Ronson;Lady Gaga.
10 Dewain Whitmore

Burn Out flac

Dewain Whitmore. 2018. Writer: Dewain Whitmore;Ilsey Juber;Emilio Behr;Martijn Garritsen.
11 Mako

Rise flac

Mako. 2018. Writer: Riot Music Team;Mako;Justin Tranter.
12 Bradley Cooper

Always Remember Us This Way flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Lady Gaga;Dave Cobb.
13 Lukas Graham

Love Someone flac

Lukas Graham. 2018. Writer: Don Stefano;Morten "Rissi" Ristorp;Morten "Pilo" Pilegaard;Jaramye Daniels;James Alan;David LaBrel;Lukas Forchhammer Graham.
14 Avril Lavigne

Head Above Water flac

Avril Lavigne. 2018. Writer: Stephan Moccio;Travis Clark;Avril Lavigne.
15 Deep Chills

Run Free flac

Deep Chills. 2018.
16 Khalid

Better flac

Khalid. 2018. Writer: Charlie Handsome;Jamil Chammas;Denis Kosiak;Tor Erik Hermansen;Mikkel Stoleer Eriksen;Khalid.
17 Charli XCX

1999 flac

Charli XCX. 2018. Writer: Charli XCX;Troye Sivan;Leland;Oscar Holter;Noonie Bao.
18 NCT 127

Regular (English Version) flac

NCT 127. 2018.
19 Camila Cabello

Consequences (Orchestra) flac

Camila Cabello. 2018. Writer: Emily Lynn Weisband;Nicolle Galyon;Amy Wadge;Bart Schoudel;Frank Dukes;Camila Cabello.
20 Lady Gaga

Look What I Found flac

Lady Gaga. 2018. Writer: DJ White Shadow;Nick Monson;Mark Nilan Jr;Lady Gaga.

Language

Popular Tags