如何发现模块化表格?

FusRoDah 06/15/2018. 2 answers, 3.438 views
nt.number-theory ho.history-overview modular-forms

当通常引入模块化表格时,它是通过:“我们在上半平面上有$ SL(2,\ mathbb Z)$的标准动作,所以让我们研究在这种变换下(几乎)不变的函数” 。
但模块化形式是在19世纪发现的,之后才有群论。 因此,我想问一下最初是如何发现模块化表格的?
在他的书中The 1-2-3 of modular forms D.扎吉尔写道,这就是原因:

Proposition 21 设$ f(z)$是一个模块形式的重量$ k $对某些组$ \ Gamma $和$ t(z)$模块化函数相对于$ \ Gamma $。 快递$ f(z)$本地作为$ \ Phi(t(z))$。 然后函数$ \ Phi(t)$满足代数系数为$ k + 1 $的线性微分方程

在证明之后(实际上,其中3个)有一个例子:函数$ \ sqrt [4] E_4 $正式是一个mod。 重量一的形式,这意味着:

$ \ sqrt [4] E_4(z)= F(\ frac 1 {12},\ frac 5 {12},1; 1728 / j(z))= 1+ \ frac {60} {j(z)} + $ ...

他说这是Fricke和Klein的作品中的经典身份。 然而,这引发了一些问题:
1)我知道在那个时候调查了超几何系列,但是他们是如何找到这个和类似的?
2)他们是否找到了关于结果函数的特殊内容,比如$ SL(2,\ mathbb Z)$转换法则?

2 Answers


KConrad 06/15/2018.

你不需要群论的language来谈论群体的某些方面。 例如,回到费马的数字理论家们正在研究mod $ m $的单位组(包括一个单位模式m $的顺序),几何学家在定义一个“组”之前很久就在研究空间中的运动组。 。

第一个模块形式(等级$ 4 $,而不是等级$ 1 $)是高斯在1800年左右算术几何平均值的工作中找到的,直到19世纪末,“模块化形式”一词才能找到在1890年介绍。我在这里接近结束时提供了链接,但我不想再进一步讨论。

相反,我想说明19世纪对模块形式感兴趣的一个原因是在更高属的黎曼曲面上构造非常数亚纯函数。 这将解释为什么有人可能会关心满足转换规则的函数,如$ f((a \ tau + b)/(c \ tau + d))=(c \ tau + d)^ kf(\ tau)$。

第1类的紧致黎曼曲面以$ \ mathbf C / L $的形式出现,其中$ L $是$ \ mathbf C $的离散子群。 $ \ mathbf C / L $上的亚纯函数是椭圆函数,在19世纪的大部分时间里都以各种形式进行了研究(Jacobi,Weierstrass等人)。 我们想找到一个类似的故事,紧凑的Riemann表面属于$ 1 $。 通过线性分数变换让离散组$Γ\ subset {\ rm SL} _2(\ mathbf R)$作用于上半平面$ \ mathfrak h $,陪集空间$ \ Gamma \ setminus \ mathfrak h $将是一个紧凑的黎曼曲面(缺少有限的多个点),并且以这种方式产生更高属的黎曼曲面。 $ {\ rm SL} _2(\ mathbf R)$的离散子组的自然集合是$ {\ rm SL} _2(\ mathbf Z)$及其有限索引子组,例如同余子组。 当我在下面写$ \ Gamma $时,你可以认为它是这些整数矩阵组之一。

我们如何在$ \ Gamma \ setminus \ mathfrak h $上创建非恒定的亚纯函数? 这与创建非常数亚纯函数$ F:\ mathfrak h \ rightarrow \ mathbf C $相同,是$ \ Gamma $ -invariant:$ F(\ gamma \ tau)= F(\ tau)$所有$ \ gamma \ in \ Gamma $和$ \ tau \ in \ mathfrak h $。 如果我们不够聪明能够直接写下$ \ Gamma $ -invariant函数,我们仍然可以通过找到一些非不变函数来取得进展,只要它们以相同的方式是非不变的:if if $$ f \ left(\ frac {aτ+ b} {cτ+ d} \ right)=(cτ+ d)^ kf(τ)$$和$$ g \ left(\ frac {aτ+ b} {cτ+ d } \ right)=(cτ+ d)^ kg(τ)$$为某些“重量”$ k \ in \ mathbf Z $和所有$(\ begin {smallmatrix} a&b \\ c&d \ end {smallmatrix} )∈\ Gamma $和$ \tau∈\ mathfrak h $,然后比率$ f(τ)/ g(τ)$是$ \ Gamma $ -invariant:$$ \ frac {f((a \ tau + b) )/(c \ tau + d))} {g((a \ tau + b)/(c \ tau + d))} = \ frac {(cτ+ d)^ kf(τ)} {(cτ+ d)^ kg(τ)} = \ frac {f(\ tau)} {g(\ tau)}。 $$只要$ f $和$ g $不是彼此的常数倍(基本上,模块形式$ f $和$ g $的空间大于一维),比率$ f / g $将是一个非常数$ \ Gamma $ -invariant函数。

但是我们为什么要使用$(cτ+ d)^ k $形式的软糖因子? 假设函数$ f:\ mathfrak h \ rightarrow \ mathbf C $ $ f(γτ)$和$ f(τ)$总是由$γ∈Γ$和$τ∈\ mathfrak确定的非整齐因子相关联单独h $,而不是$ f $:$ f(γτ)= j(γ,τ)f(τ)$$对于某些函数$ j:\ Gamma×\ mathfrak h \ rightarrow \ mathbf C ^ \ times $ 。 如果$ g(γτ)= j(γ,τ)g(τ)$那么$ f(γτ)/ g(γτ)= f(\ tau)/ g(\ tau)$,所以$ f / g $是$ \ Gamma $ -invariant。 我们想弄清楚任何人可能会想象如何使用软糖因子$ j(\ gamma,\ tau)=(c \ tau + d)^ k $,其中$γ=(\ begin {smallmatrix} a&b \\ c&d \ {结束} smallmatrix)$。 由于$(γ_1γ_2)τ=γ_1(γ_2τ)$,我们有$ f((γ_1γ_2)τ)= f(γ_1(γ_2τ))$。 这将上面显示的等式转换为$$ j(γ_1γ_2,τ)f(τ)= j(γ_1,γ_2τ)f(γ_2τ)。 $$由于$ f(γ_2τ)= j(γ_2,τ)f(τ)$,当且仅当“cocycle condition”$$ j(γ_1γ_2,τ)= j(γ_1,γ_2τ)j时,上述等式成立(γ_2,τ)$$持有,看起来很像链规则$(f_1◦f_2)'(x)= f_1'(f_2(x))f_2'(x)$。 这表明使用区分的函数$ j(\ gamma,\ tau)$的一个自然例子:当$γ=(\ begin {smallmatrix} a&b \\ c&d \ end {smallmatrix})$和$ \ tau \ in时\ mathfrak h $,set $$ j(γ,τ):= \ left(\ frac {aτ+ b} {cτ+ d} \ right)'= \ frac {a(cτ+ d) - c(aτ+ b)} {{cτ+ d)^ 2} = \ frac {ad - bc} {(cτ+ d)^ 2},$$和$γ∈{\ rm SL} _2(\ mathbf R)$ this说$ j(γ,τ)= 1 /(cτ+ d)^ 2 $。 当$ j(γ,τ)$满足cocycle条件时,每个$ m \ in \ mathbf Z $的$ j(γ,τ)^ m $也是如此,这促使考虑具有因子的模块化形式的转换规则$(cτ+ d)^ k $,至少对于$ k $(使用$ k = -2m $)。

https://math.stackexchange.com/questions/312515/what-is-the-intuition-between-1-cocycles-group-cohomology上的最佳答案显示了在尝试写下线束时如何产生相同的cocycle条件$ \ mathbf C $上的椭圆曲线。


Carlo Beenakker 06/15/2018.

强调历史发展的介绍是由Ranjan Roy 从高斯到Dedekind到Hecke椭圆和模块函数 。 第一章, 十九世纪的基本模块形式 ,描述了早期历史的大部分内容。

OP中的重量一的模块化形式确实由Klein于1878年出版,但它出现在Hermite的一篇1858年的论文中并且隐含在高斯的作品中。 (Roy在第2章中广泛写了高斯对模块化表格的早期贡献。)


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