使用u-substitution集成函数

user472288 05/11/2018. 5 answers, 138 views
calculus integration substitution

我想弄清楚如何整合这个功能。 我从我的工具包中尝试了几个技巧,但我似乎无法弄清楚。

$$\int\ \frac {e^{2x}-6e^x}{e^x+2}\ dx$$

所以,假设我将一些术语分解并将方程拆分为:

$ \ int \ \ frac {e ^ {2x}} {e ^ x + 2} \ dx $和$ -6 \ int \ \ frac {e ^ x} {e ^ x + 2} \ dx $

现在我看不出$ e ^ {2x} $的导数是$ e ^ x + 2 $,反之亦然。 从另一面来看,将$ u $设置为$ e ^ x $似乎更合理。 所以让我们这样做:

$ -6 \ int \ \ frac {e ^ x} {e ^ x + 2} \ dx $ = $ -6 \ int \ \ frac {u} {u + 2} \ dx $

好的,你可以看到,我在这里没有任何地方。 我真的很陌生,我很可能错过了一些关键的步骤。

5 Answers


amWhy 05/11/2018.

$$ \ int \ \ frac {e ^ {2x} -6e ^ x} {e ^ x + 2} \ dx $$

让$ \ displaystyle e ^ x + 2 = u $。$ ^ {\ color {blue} {(1)}} $

所以$ \ displaystyle e ^ x = u-2 $,所以$ \ displaystyle e ^ {2x} =(u-2)^ 2 $。

$ \ color {blue} {(1)} $ now $ \ displaystyle e \ x \ dx = du \ iff \ dx = \ frac {du} {e ^ x} $,但从上面回想,$ \ displaystyle e ^ x = u-2 $。

所以实际上,$ \ displaystyle \ color {blue} {dx = \ frac {du} {u-2}} $。

这给了我们积分

$$ \ begin {align} \ int \ frac {(u-2)^ 2 - 6(u-2)} {u \ cdot \ color {blue} {(u-2)}} \ \ color {blue} {du}&= \ int \ frac {(u-2) - 6} {u} \,du \\&= \ int \ frac {u-8} {u} \ left(1- \ frac 8u \ right)\ du = \ end {align} $$

你能从这里拿走吗?


Kirk Fox 05/11/2018.

诀窍是看到$ e ^ {2x} $可以很容易地更改和考虑因素。 我们从积分开始。 $$ \ int \ frac {e ^ {2x} -6e ^ x} {e ^ x + 2}〜{\ rm d} x $$我们可以使用$ a ^ {mn} =(a ^ m )^ n $将其改变为$$ \ int \ frac {(e ^ x)^ 2-6e ^ x} {e ^ x + 2}〜{\ rm d} x = \ int \ frac {e ^ x (e ^ x - 6)} {e ^ x + 2}〜{\ rm d} x $$我们可以使用替换$ u = e ^ x + 2 $和$ {\ rm d} u = e ^ x {\ rm d} x $并从那里求解。 $$ \ int \ frac {u - 8} {u}〜{\ rm d} u = \ int \ left(1 - \ frac {8} {u} \ right){\ rm d} u = u - 8 \ LN | U | + C $$然后我们替换$ u $的等价物。 $$ e ^ x + 2 - 8 \ ln | e ^ x + 2 | + C $$我们现在也可以说$ 2 $可以成为常量$ C $的一部分,并且从\ mathbb {R} $给$ x \中的$ e ^ x + 2> 0 $移除绝对值我们给出了一个最后的答案:$ e ^ x - 8 \ ln \ left(e ^ x + 2 \ right)+ C $$


Rhys Hughes 05/11/2018.

$$ \ INT {\压裂{E 1 {2×} -6E ^ X} {E 1 X + 2}} DX = \ INT {\压裂{E 1 {2×}} {E 1 X + 2}} DX - 6 \ int {\ frac {e ^ x} {e ^ x + 2} dx} $$替换:$ u = e ^ x + 2 $,则$ \ frac {du} {dx} = e ^ x = u -2 \到dx = \ frac {1} {u-2} du $

Sub进入积分的前半部分:

$$ \ INT {\压裂{(U-2)^ 2} {U(U-2)}杜} = \ INT {\压裂{U-2} {U】杜} = \ INT {1- \压裂{2} {U】杜} = U-2 \ LN | U | + C $$

积分的后半部分将得到:

$$ \ INT {\压裂{U-2} {U(U-2)}杜} \到\ INT {\压裂{1} {U】杜} = \ LN | U | + C $$

因此总的来说:$$ u-2 \ ln | u | -6 \ ln | u | + C = U-8 \ LN | U | + C $$


user247327 05/11/2018.

它看起来像你几乎完成了。 您已将问题减少到集成$ -6 \ int \ frac {e ^ x} {e ^ x + 2} dx $。 现在让$ u = e ^ x + 2 $。 然后$ du = e ^ xdx $,这样积分变为$ -6 \ int \ frac {1} {u} du $。


pureundersgrad 05/12/2018.

提示:$$ \ frac {e ^ {2x} -6e ^ x} {e ^ x + 2} = \ frac {e ^ {2x}} {e ^ x + 2} - \ frac {6e ​​^ x} { E 1 X + 2} $$

进一步提示:让$ u = e ^ x + 2 $然后$ dx = \ frac {du} {e ^ x} $

所以当你在第一个中替换它时,它会变成$ \ int \ frac {u-2} {u} du $。 仔细检查一下。

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