如果我证明某些东西是无法证明的,这是否是一个悖论?

Adam 05/10/2018. 1 answers, 1.212 views
logic proof-theory peano-axioms

哥德巴赫猜想断言:

可以写出每个大于2的偶数作为两个素数的总和。

假设我可以证明哥德巴赫猜想在Peano算法中是不可证明的。 那意味着我不能证明猜想,也不能否定。

但这不就是说我找不到反例吗? 因为这将是一个证明其否定是真实的有限证明。 如果我找不到反例,这并不意味着猜测是真实的吗?

换句话说,如果我能证明它是无法证明的,那么它不是对猜想的证明吗?

1 Answers


user21820 05/10/2018.

无法证明≠无法证明。 如果PA既不能证明猜测也不能否定它,但在PA中是不可判定的。

如果你曾经证明过这样的结果,你肯定不能在PA内工作,因为PA不能证明它不能证明某件事,否则PA可以证明它不能证明矛盾,这是Godel的第二个不完备定理所不可能的(假设PA一致) 。 因此no paradox ; 你对PA的不可行性的证明必须是除PA之外的其他系统的证明。

因此,让我们将基础系统MS修复为任何合理的正式系统(至少证明存在PA的模型),并让我们在MS中进行推理。 如果PA不反驳Goldbach,那么PA就不能证明它的否定,这是一个$Σ_1$ - 句子,因此否定不可能是真实的,因为PA是$Σ_1$ - 完成。 所以如果PA没有反驳戈德巴赫,那么哥德巴赫其实是真的。

需要注意的是,你在MS工作,所以你至少应该说服自己,MS是一致的。 注意,如果MS不一致,你(MS内部工作)将能够证明PA不证明Goldbach,但这并不意味着什么。

请注意,这个论点不一定适用于其他未解决的问题。 例如,双素猜想可以写成一个$Π_2$ -sentence,而且目前还不知道它与一个复杂度较低的句子相当,所以这个参数不起作用,因为PA不是$Σ_2$ -complete 。

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