是否存在从简单的连通空间到拓扑学家的正弦曲线的连续而全面的映射?

Nícolas Pinto 05/10/2018. 1 answers, 53 views
general-topology connectedness

拓扑学家的正弦曲线是集合:

$$ T = \ left \ {\ left(x,\ sin \ left(\ frac {1} {x} \ right)\ right):x \ in(0,1)\ right \} \ cup \ { 0,y):y \ in \ mathbb {R} \} $$

一个常见的(也是有趣的)练习是证明该组已经连接。 通常的答案是这样的:

(1)函数$ f(x)= \ sin \ left(\ frac {1} {x} \ right)$的图是连通域上连续函数的图,所以它的同胚域和图,从而图连通

(2)$(0,0)$是图的极限点,所以如果我们将它添加到集合连通性保存

(3)$ T $是上一步构建的集合和$ y $轴的并集,即两个不相交的连通集合的并集,$ T $也被连接。

我有兴趣通过从一些简单连接集到$ T $的连续映射来直接在步骤1解决问题。

我的(错误的)候选人是:在\ mathbb {R} ^ 2:y \ in \ mathbb {R} \} \ cup \ {(x,0)\ in中设置$ M = \ {(0,y) \ mathbb {R} ^ 2:x \ in(0,1)\} $。 让$ g:M \到T $定义如下:

$$ g(x,y)= \ begin {cases}(x,\ sin \ left(\ frac {1} {x} \ right))&\ mbox {if $ 0 \ lt x \ lt 1 $,} \ \\(x,y)&mbox {otherwise} \ end {cases} $$

该函数会将$ xy $轴的连接子集“转换”为$ T $,但现在我发现我的构造不是连续的*。 我们能否以任何方式更改$ g $以使其连续? 或者,也许有另一个连接(和简单!)设置为连续地图到$ T $?


*我们可以得到$(X_k,0)$到$(0,0)$的$ M $,但是$ g(X_k,0)$不会到$ g(0,0)$

**我对“简单”没有定义,我希望它是有道理的

1 Answers


Eric Wofsey 05/10/2018.

不可以。从$ M $到$ T $连续出现,因为$ M $是路径连接的,$ T $不是。 更一般地说,任何持续超出$ T $的空间都不得与路径连接。 由于$ T $是没有路径连接的连接空间的最基本的例子之一,因此我非常怀疑存在任何连续的空间,并且连续地抛出$ T $,您会认为这是“更简单”的。

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