为什么积分从0开始?

conyare 05/09/2018. 5 answers, 946 views
integration

这是一个愚蠢的问题,我真的不知道该怎么说。 当你采取一个反导数和插入数字时,你会得到从0开始的曲线下的区域(假设C为0)。 我可以很容易地看到积分的导数是如何由函数值给出的,但为什么积分从0开始而不是其他数字? 当我试图想象某个曲线的面积从负1开始时,例如曲线下面的面积对于我来说仍然是由抗衍生物给出的。 0作为一个起点是有意义的,但由于某种原因,我无法想象它。 我不确定这是否有意义,但如果有人能帮我把头包在里面,我会很感激。

5 Answers


Jair Taylor 05/09/2018.

当你采取一个反导数和插入数字时,你会得到从0开始的曲线下的区域(假设C为0)。

这不是真的。 在某些情况下,可能是这种情况,但不是一般情况。 我认为造成这种混淆的原因是微积分学生的一个常见问题是找到多项式的反导因子,例如,

$$ \ int x ^ 3 + 2x \,dx = \ frac {1} {4} x ^ 4 + x ^ 2 + C $$

在这种情况下,如果我们设置$ C = 0 $,我们就可以得到

$$ \ frac {1} {4} x ^ 4 + x ^ 2 $$

这与$$ \ int_0 ^ xu ^ 3 + 2u \,du = \ frac {1} {4} u ^ 4 + u ^ 2 \ big | _ {u = 0} ^ {u = x}相同。 $$

只要您获得$ f $的antiderivative $ F $获得的表单满足$ F(0)= 0 $,就可以工作。 但是一般来说,设置$ C = 0 $不会得到整数$ \ int_0 ^ xf(t)\,dt $。 例如,如果您采用$ f(x)= e ^ x $,那么$$ \ int e ^ x \,dx = e ^ x + C $$,但设置$ C = 0 $会给您$ e ^ x $,这与$$ \ int_0 ^ xe ^ t \,dt = e ^ x - 1。$$不一样

请注意,在抗衍生物的表达式中“设置”C = 0“实际上并不是一个明确定义的操作。 当您设置$ C = 0 $时,不同的反差分方法可以为您提供不同的表达方式。 重要的是要记住,没有单一的反衍生,也没有规范的写作方式。 $ \ int 2x \,dx = x ^ 2 + 3 + C $与$ \ int 2x \,dx = x ^ 2 + C $一样有效。


Y. Forman 05/09/2018.

积分don't始于$ 0 $。 让我们从定积分开始,进入你问的有关不确定积分的问题。 我们知道$ \ int_a ^ bf(x)dx $给出$ a $和$ b $之间曲线下的面积。 如果$ f(x)$有一个反导函数$ F(x)$,则微积分的基本定理告诉我们$ \ int_a ^ bf(x)= F(b) - F(a)$。 因此,如果我们想要从$ a $到$ b $的曲线下面积,我们计算$ F(b) - F(a)$。 如果我们想要曲线下面积从$ 0 $到$ b $,我们计算$ F(b) - F(0)$。 $ F(b) - F(0)$作为$ b $的函数,给我们的面积从$ 0 $到$ b $。

现在有很多“自然”函数,其中$ F(0)= 0 $(例如,函数像$ x ^ 2 $或$ \ sin x $),所以到$ F(b)$给出的区域从$ 0 $到$ b $。 但是,如果$ F(0)\ neq 0 $不是这种情况。

上面应该清楚,没有理由$ 0 $是特别的 - 如果你想从$ -1 $到$ b $的区域作为$ b $的函数,只需使用$ F(b) - F(-1 )$。


Allawonder 05/09/2018.

那么,积分(我认为你的意思是反衍生物)并不总是以$ 0 $开始。 事实上,如果一个函数$ f = f(x)$在某个区间$ I = [a,b] $中是连续的,那么它有一个由$$ \ int_c ^ x {f(t)dt}给出的反导数, $$其中$ c \ in I $。 为方便起见,$ 0 $通常仅用于$ c $。 一个众所周知的函数定义为一个“从......开始”的抗衍生物(注意,从衍生出来的抗衍生物的概念不应该从字面上理解,因为函数的定义即使对于$ x $ c $也不是)$ 1 $,而不是与往常一样,$ 0 $是对数函数$$ \ log x = \ int_1 ^ x {\ frac {1} {t} dt}。$$


Acccumulation 05/09/2018.

抗衍生物通常以“最简单”的形式给出,并且当x为零时,最简单的形式通常具有零值。 例如,如果函数是常数,那么对于反导函数,则需要一条斜率等于该常数值的线。 最简单的写法是y = mx + C。 你可以写成y = mx + 5-C,这将是一个有效的反导函数,但这将是不必要的复杂。 既然你正在寻找简单的功能,零会弹出很多。 但有些情况下最简单的功能不通过原点。 例如,如果你采用sin(x)的反导函数,最简单的形式是cos(x)+ C。 如果你想从零开始,你必须做cos(x)-1 + C。 类似地,e ^ x的抗衍生物通常以e ^ x + C给出。

在某些情况下,相同的功能可能有不同的抗衍生物,看起来非常不同,但实际上是相同的。 例如,可以将$ \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} $集成为arcsin(x)或-arccos(x)。 但这些只是不变的$ \ pi / 2 $。


Jeffery Opoku-Mensah 05/09/2018.

这取决于你采取的是什么antiderivative。 例如,$ 2x $的反衍生因子可以是$ x ^ 2 $,$ x ^ 2 + 1 $,$ x ^ 2 + 100 $或其他。 根据基本定理,证明$ x ^ 2 $给出从零开始的曲线下的面积。 但是,例如,$ x ^ 2 + 1 $也会给出从$ -1 $开始的曲线区域。

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