生日问题:使用$ ^ nC_r $。

q126y 05/08/2018. 4 answers, 356 views
probability combinatorics probability-theory binomial-coefficients birthday

在生日问题中,假设总人数n <365,那么所有具有不同生日的人的概率由下式给出,

从$ 365 $中选择$ n $数字的方法,无需重复}} {\ text {从365开始重复选择n个对象的方法总数}}。 $$

$$ p = \ frac {^ {365} C_n} {^ {365-1 + n} C_n} $$

我知道,这是错误的,但不知道为什么。

  1. 我想知道为什么它错了?

  2. 使用$ ^ nC_r $计算可以解决这个问题,如果不是,为什么?

4 Answers


Piyush Divyanakar 05/08/2018.

可以从$ 365 $是$ \ binom {365} {n} $中选择$ n $不同日期的方式数量。 在你选择后,你可以安排他们在$ n!$方式。 所以总数是$ n!\ times \ binom {365} {n} $。

所有$ n $人可以有$ 365 $可能的日子的生日,所以总的方式是$ 365 ^ n $,因此您得到$$ \ frac {n!\ binom {365} {n}} {365 ^ n} $$

你在分母中的公式与你打算的不同,它在n人中分发365天。 ( 链接 )你使用的公式假定日子和人没有区别。

等同数量的可能的3位二进制数字。 在这种情况下,这些地方都是彼此不同的,数字也是如此。 因此,您使用的公式基于与此问题无关的假设。


kodlu 05/08/2018.

它不能纯粹由二项式系数求解,因为正确的表达式是$$ \ frac {365} {365} \ times \ frac {364} {365} \ times \ cdots \ times \ frac {365-n + 1} {365} = \压裂{365!} {(365-N)! 365 ^ n} $$(第一次试验不与现有的生日相冲突(空集),第二次不与364/365的概率发生碰撞等),分母中的幂项停止它被减少为二项式系数。

Edit:这个过程是顺序的,所以让我们通过考虑顺序来计算概率。

如果您从$ n $中选择$ r $对象的方式总数不重复(其中的顺序很重要),然后除以选择$ n $对象的顺序非常重要的方法总数,您可以获得$$ n !/(NR)! $$除以$$ n ^ r $$这将给出正确答案$$ \ frac {n(n-1)\ cdots(n-r + 1)} {n ^ r} $$(for you $ n = 365,$和$ r = n $)。


Phil H 05/08/2018.

假设问题是,n个人都有同一个生日的概率是多少,当然这只是$$ \ frac {1} {365 ^ {n-1}} $$

对于第一个人来说,就是这样。 对于第二个人来说,这是一个$ \ frac {1} {365} $概率,他们的生日是一样的。 对于3人而言,它是$ \ frac {1} {365} * \ frac {1} {365} $ etc等,用于$ n-1 $次。


Jesse 05/08/2018.

你有两个问题,第一个是“为什么这是错误的”你有点偏离,因为分母不是“从365重复选择n个对象的方式的总数”,它是“选择n的方式总数对象从365 [有或没有重复“也就是365 ^ N。 你会把分子视为有序的(使用排列),因为它使得数学运算更容易。 否则(如果使用组合),您必须允许随机化分子和分母中的顺序,这将最终由n分割! 在这两个取消。

因此,对于第二个问题,您可以对分子使用nCr计算,但不能使用分母。

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