查找积分的极限:$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf(x)\ sin ^ 3 {(nx)} \:dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

假设$ f:[a,b] \ to \ mathbb {R} $是连续的。 确定是否存在以下限制

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf(x)\ sin ^ 3 {(nx)} \:dx。$$

由于$ f(x)$和$ \ sin ^ 3 {(nx)} $是连续的,所以它们的乘积是黎曼可积。 然而,$ \ lim_ {n \ to \ infty} f(x)\ sin ^ 3 {(nx)} $不存在,所以它不是一致收敛的,我们不能通过积分内的限制。 它也不符合迪尼定理的条件。 我不知道如何为这个问题提出一个有效的论据,但我认为我所说的极限不存在。 我感谢任何帮助。

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

黎曼 - 勒贝格引理 。 注意$ \ sin ^ 3(nx)= \ frac {3} {4} \ sin(nx) - \ frac {1} {4} \ sin(3nx)$。

2 comments
Parisina 07/31/2017
谢谢,我想,我现在可以完成它
Teepeemm 07/31/2017
这似乎比问题所要求的更先进。

Sangchul Lee 07/31/2017.

解决这个问题的一个稍微不同的方式是使用以下观察。

Proposition. 如果$ f:[a,b] \ to \ mathbb {R} $是连续的,则$ g:\ mathbb {R} \到\ mathbb {R} $是连续的,$ L $ --periodic,那么

(x)g(nx)\,dx = \ left(\ int_ {a} ^ {b} f(x)\, dx \ right)\ left(\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g(x)\,dx \ right)。 $$

  1. 假设这条语句,答案会立即出现,因为$ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $是$ 2 \ pi $ -periodic并且

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \,dx = 0. $$

  2. 直觉非常清楚:如果$ n $非常大,那么在子区间$ [c,c + \ frac {L} {n}] \ subset [a,b] $上我们有

    (c)\ frac {L} {f} {(c)} {c + \ frac {L} {n}} f(x)g(nx)\,dx \ (x)\,dx = f(c)\ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g(x) $$

    所以忽略细节,我们会有

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f(x)g(nx)\,dx \ approx \ left(\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n(ba)/ L \ rfloor} f \ left (x)\,dx \ right)$$(\ frac {kL} {n} \ right)\ frac {1} {n} \ right)\ left

    并以$ n \ to \ infty $为限,右边收敛到期望的值。 填写细节非常常规。

  3. 关于连续性的假设只是一个简单证明的技术性设置,你可以通过付出更多的努力将它们放松到一定程度。


Michael Hartley 07/31/2017.

您不能得出结论$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg(x,n)dx $$不存在只是因为$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g(x,n )$$不。 例如,$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin(nx)$$不存在,但是$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin(nx)dx = 0,$$,因为所有$ n $的整数都是零。

恐怕我的有用性在这一点上消失了,尽管我认为这个极限是存在的:如果没有其他的话,你应该找到一些epsilon-delta参数来表示积分作为长度区间上一堆积分的总和$ \压裂{2 \ PI} {N} $。 这可能是解决问题的一种非常糟糕的方式。

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