总是少于它们派生的函数

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

我想知道是否有所有$ x $都有$$ f'(x)> f(x)$$的函数。 只有我能想到的例子是$ e ^ x - c $,而简单的$ - c $其中$ c> 0 $。 此外,函数中是否有任何意义总是小于其导数?


编辑:非常感谢所有的答复。 似乎几乎所有适用的函数都是指数性的...有更多的例子像 - 1 / x吗?

这些功能是否还有任何应用/物理表现? [例如速度总是大于其位置/加速度的物体总是大于其速度]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
在我的头顶上,在下半平面有任何有界的,单调递增的函数。
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ixion的答案给出了完整的,最一般的解决方案(尽管某些特定的解决方案族可能会以更好的形式写入),并且应该被接受。
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! 但请修正标题,将“其”改为“他们”。 标题的写法,暂时看起来像是你在考虑所有订单的衍生品。 现在我对这个问题很好奇,哈哈!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

如果$ y'(x)> y(x)\ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $,我们可以定义$ f(x)= y'(x)-y(x)$, $ X $。 假设$ y'(x)$是连续函数,所以$ f(x)$也是连续的。 现在用这个元素我们可以建立微分方程$$ y'(x)= y(x)+ f(x)$$并且它的解由下式给出:$$ y(x)= e ^ {x} \ left (C + \ int_ {X_0} ^ {X} E 1 { - S} F(S)DS \右)$$

这些功能是否还有任何应用/物理表现? [例如速度总是大于其位置/加速度的物体总是大于其速度]

我不知道是否有这个有趣的属性的应用,但我相信你不能比较速度和位置,因为它们不是同质数量。


Aidan Connelly 07/29/2017.

假设$ f(x)> 0 $,$ f:\ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f'(x)> f(x)\ iff \ frac {d} {dx} \ ln(f(x))> 1 $

所以你可以把任何函数$ g $(其中$ g'(x)> 1 $)转换成这种类型的函数,方法是取其指数函数:

$ \ frac {d} {dx} g(x)> 1 \意味着\ frac {d} {dx} \ ln(e ^ {g(x)})> 1 \意味着\ frac {d} {dx} e ^ {G(X)}>电子^ {G(X)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
您在开始时假设$ f(x)> 0 $
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen:然后他可以使用$ \ hat {f}(x)\ equiv e ^ {f(x)} $作为任何给定$ f $的起点。 这样一个人总是有$ \ hat {f}(x)> 0 $。
Robin Saunders 07/29/2017
Ixion的答案通过允许$ \ frac {df} {dx} - f(x)$成为任何无处不在的函数来给出完整的推广。
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders不,他假设$ f'(x)$的连续性。
Robin Saunders 07/29/2017
我很确定这种情况实际上并不需要。

Peter 07/28/2017.

一个简单的例子是$ f(x)= - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

一个更有趣的问题是找到一个函数$ f:\ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $,其图像是$ \ mathbb {R} $并且满足$ f'(x)> f(x)$对于所有$ x \ in \ mathbb {R} $。 其中一个功能是

$$ \的sinh(x)时,$$

因为

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh(x)= \ cosh(x)> \ sinh(x)$$为所有$ x \ in \ mathbb {R} $。


M. Winter 07/28/2017.

取$ f(x)= e ^ {\ alpha x} $。 那么对于$ \ alpha> 1 $,我们有$ f'(x)> f(x)$,对于$ \ alpha <1 $,我们有$ f'(x)<f(x)$。


steven gregory 07/28/2017.

如果你把它看作一个微分方程,那么怎么样? 说

$ y'= y + 1 $

其中解$ y = Ce ^ x -1 $

或$ y'= y + x ^ 2 + 1 $

其具有解决方案$ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3)$

或$ y'= y + 2 \ sin x + 3 $

其中有$ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
对于任何$ f(x)> 0 $,Ixion的回答将这个概念推广到$ y'(x)= y(x)+ f(x)$。
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - 我应该删除我的答案吗?
Robin Saunders 07/30/2017
我对堆栈交换礼仪不太了解,但我的猜测是,因为你首先发布了你的答案,并且它包含了不在其他答案中的具体例子,所以离开它应该没问题。

Eric Towers 07/30/2017.

一个very简单的例子是$ f(x)= -1 <0 = f'(x)$。 与你的编辑相关:这根本不是指数。

其他不是直接指数的例子:

  • $ \ frac { - \ pi} {2} + \ arctan x $无处不在,处处严格单调递增,因此无处不在。
  • $ -1 + \ mathrm {erf}(x)$无处不在,处处严格单调递增。 (这些非常相似,因为它们是(标准/归一化)Cauchy和Gaussian分布的CDF的移位副本。)
  • $ \ frac {1} {2} \ left(x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right)$是具有$ x $ -axis和$ y = x $ as的双曲线的下分支渐近线。 它无处不在,处处严格单调增加。

Thiago Nascimento 07/28/2017.

请参阅\ [0,\ infty]中的$ - \ frac {1} {x},\ frac {1} {x ^ {2}} \ $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
更一般地说,任何具有正导数的负函数...

Joshua Kidd 07/28/2017.

另一个简单的例子是$ f(x)= -e ^ { - x} $,$ f'(x)= e ^ { - x} $


Adayah 07/29/2017.

不等式$$ f'(x)> f(x)$$相当于$$ \ left [f(x)e ^ { - x} \ right]'> 0。$$

所以一般的解决方案是采用任何可微函数$ g(x)$ with $ g'(x)> 0 $,并放置$ f(x)= g(x)e ^ x $。

请注意,关于$ f $,除了可微性之外,没有其他假设,这首先要问这个问题。


HelloGoodbye 07/30/2017.

对于$ f(x)$和$ f'(x)$都被限制在有限范围内的任何微分函数$ f $,$ f'(x) - f(x)$也被限制在一个有限范围内,所以有一个$ c $,其中$ f'(x)-f(x)> -c \ \ forall \ x $。 因此,可以形成函数$ g(x)= f(x)-c $,其中$ g'(x)-g(x)-c> -c \ \ forall \ x $或$ g'(x )> g(x)\ \ forall \ x $。

例如,这适用于许多微分周期函数。

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
最后一种说法是错误的,因为并非每个可微分周期函数都有界导数。
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah你说得对。 我正在考虑在$ \ mathbb {R} $中的每个点都可微的周期函数,但是我意识到一个函数只能在其领域中的所有点上可区分以被认为是可区分的。 我已经更新了我的答案。
Adayah 07/30/2017
我的意思是,一个函数$ f:\ mathbb {R} \到\ mathbb {R} $可能是周期性的,且在每个点mathbb {R} $中都有可微分,并且仍然具有无限导数。
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah你有这样的功能的例子吗?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah我的意思是,如果一个函数$ f $在任何地方都是可微的,它的微分$ f'$必须存在,并且$ f'$必须是连续的(因为如果它包含任何不连续性,$ f'$不能存在于该点)。 这使得$ f $ $不可能是无界的,对吗?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

迈克回答你的另一个问题“这是否有物理例子?” 由dromastyx启用。

他的例子展示了准确描述'孤子'物理现象的双曲函数。

孤子是孤波,如太阳耀斑,海啸等。发现隐藏在已知方程中的这种波的例子是:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

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