大多数数学家是否知道数学中的大多数话题?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

他或她的专业领域之外有多少主题是熟悉的平均数学家?

例如,平均群体理论家是否知道足够的偏微分方程在研究生水平的PDE课程中通过考试?

此外,对于任何有抱负的数学家来说,什么是“必须知道的”主题? 为什么?

作为一名研究生,我是否应该更多地关注广度(选择广泛的相对成对无关的类,例如群论和偏微分方程)或深度(如测量理论和功能分析)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
大家知道,群论在偏微分方程的研究中使用,主要是利用PDE可能具有的任何对称性。
53 Cauchy 07/27/2017
不,一个普通的团体理论家在研究生阶段的PDE课程中会得到$ 0美元的胖子(他/她might在某个时候研究过PDE,但他/她绝对会忘记一切)。
23 Cauchy 07/27/2017
然而,一般来说,大多数数学家对各种话题都有一定的了解,所以如果他们需要来自其他分支的某种工具,他们可以(相对)快速地阅读材料并阅读相关文献。
1 owjburnham 07/27/2017
我怀疑这可能是特定国家,值得标记? 我(在英国)从来不必作为研究生参加一次考试(谢天谢地)。
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles,我更多地听说过庞加莱的说法。

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

你的问题是哲学而不是数学。

我的一个同事在我当学士学位时曾经告诉过我以下的比喻/插图,并且他做了博士学位。 从现在开始,我可以谈论几年。

这很难写出来。 考虑在空中画一个巨大的圆圈,放大,然后再画一个大圆圈。

这是所有的知识:

[--------------------------------------------] 

所有的知识都包含很多,数学只是其中的一小部分 - 用十字标记:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

数学研究分为很多主题。 代数,数论等等,还有数学数学。 这是这个小部分:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

数值数学也被分成几个主题,如ODE数值,优化等。其中之一就是偏微分方程的有限元理论。

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

这就是知识的一部分,我觉得自己可以说“我比世界上其他大多数人都知道得多一点”。
现在几年后,我会再一步扩展这一说明:我在这一部分的知识看起来很​​像

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

我仍然只知道“一点点”,其中大部分我都不知道,我学到的大部分内容已经被遗忘了。

(实际上,FEM理论仍然是一个巨大的话题,其中包含不同类型的偏微分方程[椭圆,抛物线,双曲线等],因此您可以进行多次“缩放”。


另一个小智慧是:完成学业的人认为他知道一切。 一旦他获得硕士学位,他知道他什么都不知道。 博士后他知道他周围的每个人都不知道什么。


询问你的重点:国际海事组织利用前几年探索数学课题,找出你喜欢的东西。 然后深入 - 如果你发现你喜欢什么。

有“必须知道”的话题吗? 在前几个术语中您会学到一些基础知识。 没有他们,很难“说”和“做”数学。 您将学习您需要深入挖掘的工具。 之后,随意享受数学:)
如果你的研究重点是PDE数字(例如我的),但你也喜欢纯数学 - 继续并讲课。 它会帮助你吗? 也许,也许不是。 但是,当然你有获得知识的乐趣,那才是重要的。

不要过多地想要参加什么讲座。 一切都会好起来的。 我认为大多数数学家会同意这种说法。

4 comments
46 Eff 07/27/2017
10 Mars 07/30/2017
为了记录,我是一位专业哲学家(哲学博士,作为教授工作,所有这一切)。 呃......在我的专业观点中,这个问题不是哲学的。 这是经验。 OP要求对数学家进行经验概括。 P. Siehr的建议是,这个问题是不准确的,或者是基于不正确的假设。 这并不能使问题或其可能的答案成为哲学。 (如果我不同意P. Siehr所说的问题不能得到回答,我的评论并不意味着支持amWhy的评论。)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars值得注意的是,在数学语境中的“哲学”通常不是指哲学领域,而是几乎所有与严格正式数学之外的数学相关或启发思想。 (我希望数学家用这个词认识到这一点!)我同意这个问题在实际意义上不是哲学的,但我确实认为这是许多数学家所使用的哲学。
Mars 08/09/2017
啊,这很有趣@JoonasIlmavirta。 谢谢。

Georges Elencwajg 07/27/2017.

你的问题的答案很简单:
不,一个专门研究代数几何的平均数学家, without preparation ,就不能通过偏微分方程的研究生水平考试。
等等,比这更糟糕:他甚至无法通过偏微分方程的本科水平考试。
等等,情况更糟糕:他无法通过in algebraic geometry的考试in algebraic geometry从他自己的另一个专门话题中进行考试。 例如,如果他是专门从事希尔伯特方案的奇点分类的初级考​​试。
相反,如果一位臭名昭着的分析师最近获得菲尔兹奖牌,可以解决富尔顿代数曲线第5章中的练习,这是对大学生代数几何的标准介绍,那么我会感到非常惊讶。

Some remarks
1)我写的内容很容易私下确认,但不可能在公开场合证明:
我不能很好地写出,在最近的一次谈话中,一位受人尊敬的概率论者XXX充分证明,他不知道圈子的基本组是什么。

2)如果作者YYY使用来自易用群体的技术写了一篇关于偏微分方程的文章,这并不意味着他的领域的其他专家知道任何群体理论。
它甚至不能证明YYY对团体理论知之甚多:他可能已经意识到团体理论参与了他的研究,并采访了一位会告诉他有关可团队的团体理论家。

3)在光明的一面,一些非常杰出的数学家似乎对数学的几乎所有主题都了如指掌:Atiyah,Deligne,Serre,Tao想到了。
我可悲的猜想是,随着时间的推移,它们的数量是趋于零的函数。
尽管我无法参加分析考试,但我知道这对于N $数学函数的价值意味着什么......

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
我的部门中有一些人至少可以对广泛领域内的各种子领域发表评论。 想到几个几何形状计算器,他们对几何学的很多领域都有聪明的见解。 也许这是不可能知道的一切。 但希望仍然有可能知道许多事情的很多事情。 我认为这可能够好,因为现在还有很多事情要知道!
1 Santropedro 07/28/2017
乔治,当你说“相反,如果一个臭名昭着的分析师最近获得了菲尔兹奖牌,可以解决富尔顿代数曲线第5章中的练习,这是对大学生代数几何的标准介绍,我会感到非常惊讶。” 他们有多少时间可以考虑每个练习? 如果我们给他们足够的时间阅读这本书并且练习,那么对我来说他们会解决它们。 他们是不是被允许阅读这本书,并且必须在现场解决它们多少时间?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
亲爱的@Santropedro,当然,如果这位出色的分析师在一两周内能够阅读这本书,然后解决它的练习。 我想说的是,他可能无法用他现在知道的解决问题。
2 Michael Kay 07/28/2017
几年前,我认为尝试处理我女儿带回家的GCSE数学文件(16岁的孩子)会很有趣。 在那个年龄,我会毫不费力地通过它。 我发现我无法回答一个单一的问题,即使我在软件工程方面的工作涉及定期接触相当多的数学。
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars:是的,这就是要点。 OP询问数学家熟悉的科目。 他是否could熟悉这样一个主题以及需要多长时间会是完全不同的问题,并且与“辉煌”的概念密切相关。

MCS 07/29/2017.

我的两分钱:除非你有一个神奇的大脑,或者是某种划时代的天才,否则你可能会发现在任何时候你只能在你的脑海里只保留这么多的数学。 所以,出于实际的原因 - 无论是在写论文还是在为自己的职业生涯方面 - 你都应该坚持一两个密切相关的领域,这样你就可以拥有足够的专业知识来使自己对一个自己有用研究机构或无论你希望如何处理你的未来。

话虽如此,我发现在数学上的肘脂和技巧常常彼此uncorrelated 。 相反,技能往往更多地依赖于一个人seen了多少数学。 为此,我想说,尽管你应该选择一个或两个主题来呼唤你自己,但你应该努力保持开放的态度,并尽可能地对各种各样的数学学科保持积极的兴趣。

我经常发现,与我的研究领域无关的数学形式的阅读(即使只是随便),提供了丰富的新思想和见解。 你熟悉的模式和现象越多,你就会注意到对你的工作感兴趣的事情的机会越多,这可能会给你一些你可能没有的直觉。 至少,它会帮助您了解在您最擅长的领域之外遇到的问题时要查找哪些主题或来源(或合作者......)。

编辑:还有一件事。 Linear algebra. 为了解释本尼迪克特格罗斯,没有知道太多线性代数的事情。 它everywhere


paul garrett 07/27/2017.

当然,这个问题中含糊不清。 但是,通过任何解释,答案总的来说都是,“不,大部分X的实践者都不记得X的全部......因为他们need ”。

因此,如果仅仅因为大多数甚至是非常聪明的人的记忆随着时间的推移而消失,那么在数年内从事某种特定事物的数学家的头脑中,标准基本事物只会略有残留。 除了教授微积分外,很少有人need记住其他许多东西。 是的,从学术的角度来看,这是潜在的令人痛苦的事实,但事实上,在几乎所有的专业数学情况下,真正的奖学金的动机和奖励都很少。 它以某种方式不适合增薪公式,任期或其他许多方面。 (并不是我自己在乎我是否尝试了解“付薪”的事情,或者不是......)

诚然,美国大多数数学研究生课程确实试图为大部分基础数学创造一些最低限度的能力/鉴赏力,但在“通过限定词”之后,似乎绝大多数人对进一步追求广泛没有兴趣奖学金,原则上或可能的直接利益。

另外,我认为(我认为的是)“专业化”就像“放大显微镜”那样简单化的图像,等等。 当然,这是一种可以辩护的世界观和主题明智的世界观,当然,通过人的行动可以使其成为一个accurate描述......但我认为这是不准确的现实。 具体而言,我并不认为真正的想法几乎如“物理放大显微镜”那样“本地化”将与其相关。 也就是说,“数学”这个概念可以用任何合理的方式描述为一个物理的东西,这意味着所有的地方性,我认为是非常不准确的。 再说一次,是的,如果没有其他的无知或无知,我们可以make这一点是准确的。 但...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

平均数学家知道多少个数学题目的问题在很大程度上取决于两个定义:

  1. 话题
  2. 知道

当然,它也取决于其他定义(如数学家),但程度较低。

定量的方法来回答这个问题

让我们根据以下维基百科定义如下主题级别:

  1. 数学(这个级别的1个主题)
  2. 纯数学/应用数学(这个级别的2个主题)
  3. 代数,...,运筹学(这个级别的13个主题)
  4. 抽象代数,布尔代数,...(???在这个层面上的话题)

现在,基于个人经验和平均数学家的形象,我可以回答这样一个数学家对于每个级别的知识:

  1. 可以通过关于此主题的研究生课程
  2. 可以通过关于这些主题的研究生课程
  3. 可以通过一些关于这些主题的研究生课程,可以通过关于这些主题的大部分介绍性课程
  4. 可以通过一些研究生课程(或许有5〜15%)

请注意,如果您超越了第4级,那么您会变得非常具体,以至于您可能找不到有关此类主题的完整研究生课程。 因此我的结论是:

根据个人经验,我期望一位普通数学家在研究生课程水平上拥有5%至15%的专题知识


Linas 07/29/2017.

我在一个项目上花了好几年的时间阅读大学图书馆每个书架上至少一本数学书的前1-2章。 这是试图获得一个公正的数学调查。 这对我来说很好,但这是一种奢侈:通过博士课程和进入学术界的被迫行军为这种行为提供了很少的时间。 但重要的是:所有最优秀的,最着名的数学家都明确地在他们的工作中使用了跨学科工具。 而且,对我个人而言,这是一种升级:突然间,一切都变得容易了。

专攻一个领域就像用右臂举重一样,忽略了核心,背部和腿部:它让你惊讶地变得虚弱无力。 当你必须掌握许多不同的抽象风格时,通常,即使在你选择的专业中,抽象也会更好。 对我而言,这是意想不到的大惊喜。

对于这里提出的更加量化的问题:我可以“通过XYZ研究生课程考试吗?” 也许可能是第一学年第一学期的课程。 有点。 考试通常使用与班级教科书紧密结合的措词和符号来提出问题,而且这种符号在一本教科书之间可能会有很大差异。 所以为此,需要准备。重点是这样的准备工作变得更容易。

1 comments
Lehs 07/29/2017
大学图书馆应该有很多数学书籍。 我永远无法学习所有书中的标题,当然也不是所有书中的所有定义。 记住那么多背景是不可能的。 但是一个专业的数学家如果他或她必须能够理解任何一本书的背景。

R K Sinha 08/07/2017.

数学专业研究生水平的教科书极其缺乏,旨在尽快地教授“真正的科目”。 “辛哈流畅的流氓”就是这样一本书。 如果有这么多类型的书籍可用,那么数学奖学金就不会是笑话。


John Bentin 07/27/2017.

当然不是。 例如,伟大的数学家格洛腾迪克对算术没有足够的认识,认为整数$ 57 $是一个非素数。 这个故事的许多帐户可以通过互联网搜索关键词访问; 说,寻找grothendieck prime 57

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
这是一个荒谬的例子! 格洛腾迪克一直在考虑素数。 他根本不在乎57美元是不是最重要的。
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
这个故事还没有完成:格洛腾迪克在一次谈话之后通过交流,在一个听众中被要求更加具体化之后,确实犯了这个愚蠢的错误。 当然,这并不会改变格洛腾迪克是20世纪最深刻的算术家之一的事实。 事实上,由于一些心理原因,57 looks有些瑕疵:-)。 相反,许多数学家认为我拉腿时,我告诉他们,4999美元is最好的!
1 Dair 07/27/2017
我相信Terrance Tao也说过在科尔伯特的报告中有27个是主要的,或者类似的:p(不是说他不熟悉素数,只是一个有趣的轶事)然而,更好的问题是我怎么知道这一点? 而且,我的人生在做什么?
1 quid 07/27/2017
“但格洛腾迪克一定知道57不是素数,对吧? 布朗大学的David Mumford说,绝对不是。 “他没有具体地思考。”“因为他确实知道,他可以回答这个问题:”57是一个素数吗?“ 正确的,这在那里变得模糊。
1 John R Ramsden 08/02/2017
如果回答最原始的问题时,似乎是指出即使是最伟大的数学家知识中不可避免的空白的稍微无味的方法,但是当格洛腾迪克向一位同事询问他遇到的某个确定的积分时,一个比愚蠢算术单更好的例子就是,并惊讶地被告知它通常被称为正态分布。

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